2da Guía de Estadística II Semestre I-2014

1.   Un almacén recibe pedidos de cierto artículo de tres proveedores distintos, P₁, P₂ y P₃. De esos pedidos 50% del total se le compra a P₁, mientras que a P₂ y P₃ se le compra 25% a cada uno. El porcentaje de artículos en malas condiciones que proporciona P₁, P₂ y P₃ es de 3%, 7% y 9% respectivamente. Si los artículos se almacenan sin importar quién es el proveedor y se escoge uno al azar; determine:

a.   La probabilidad de que sea defectuoso.

b.   Si es defectuosos, ¿cuál es la probabilidad de haya sido despachado por el proveedor P₃?

2.   Se tienen dos urnas, y cada una de ellas contiene un número diferente de bolas blancas y rojas: Primera urna, U₁: 5 bolas blancas y 3 rojas; Segunda urna, U₂: 6 bolas blancas y 4 rojas. Se realiza el siguiente experimento aleatorio: Se lanza un dado equilibrado y si sale par se elige una bola de la primera urna, y si sale impar de la segunda.

a.   ¿Cuál es la probabilidad de que salga una bola blanca?

b.   Si el resultado fue bola roja, cual es la probabilidad de que provenga de la segunda urna

3.   Una agencia automotriz recibe un embarque de 25 automóviles nuevos. Entre estos, tres tiene defectos. La agencia decide seleccionar aleatoriamente dos automóviles  de entre los 25 y aceptar el embarque si ninguno de los automóviles seleccionados tiene defectos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el embarque?

4.   Una empresa vende sus productos en tres ciudades. Los porcentajes de venta son: 45% en A, 30% en B y 25% en C. La probabilidad de que se produzca falta de pago es, respectivamente, 0,03 en A, 0,05 en B y 0,07 en C.

a.   Cuál es la probabilidad de que un producto, tomado aleatoriamente de los registros de la empresa, se encuentre en condición de falto de pago

b.   Habiéndose dado una falta  de pago, ¿de qué ciudad es más probable que proceda?

5.   Sea P(A) = 0,35 y P(B/A) = 0,75, hallar P(A∩B)

6.   Una entidad bancaria califica a sus clientes, a la hora de conceder préstamos, en dos grupos: clientes "preferentes" y clientes "no preferentes". En su Memoria de 2011 aparecen los siguientes datos:

- El 30% de los préstamos fueron fallidos (no se pagaron a tiempo).

- El 40% de los préstamos fallidos fueron concedidos a clientes "preferentes".

- El 55% de los préstamos no fallidos fueron concedidos a clientes "preferentes".

Calcule:

a.   Probabilidad de que un préstamo concedido a un cliente "preferente" resulte fallido.

b.   Probabilidad de que un préstamo concedido a un cliente "no preferente" no sea fallido.

7.   Suponga que A es el evento “El teléfono está intervenido” y B es el evento “El teléfono es negro” Si 35% de los teléfonos están intervenidos; además del total 25% son negros y 10% de los teléfonos negro y está intervenidos. ¿Son A y B sucesos independientes?

8.   Se sabe que si el Producto Nacional Bruto (PNB) aumenta, la probabilidad de que el valor de unas acciones aumente es de 0,75. Si el PNB se mantiene constante, la probabilidad de que suban las acciones es 0,25, y si el PNB disminuye, la probabilidad de que aumente el valor de las acciones es de 0,15. Si para el futuro se asignan las probabilidades 0,4; 0,3 y 0,3 a los sucesos: suba el PNB, se mantenga constante y disminuya, respectivamente, responda a las siguientes cuestiones:

a.   Determine la probabilidad de que aumente el valor de las acciones.

b.   Suponiendo que las acciones subieron, determine la probabilidad de que el PNB haya subido efectivamente.

c.   Suponiendo que haya subido el PNB, determine la probabilidad de que las acciones bajen de valor.

9.   De acuerdo con las tablas de mortalidad, la probabilidad de que una persona de 65 años llegue a los 66 años es 0,96. Una pareja de un matrimonio ha cumplido 65 años ¿Cuál es la probabilidad de que cumplan ambos esposos los 66 años?

10.   En cuatro ciudades de una región del país se dan las siguientes cifras de población activa y desempleo:

Ciudad	Población Activa	Tasa de Desempleo
A	250.000	6%
B	550.000	7%
C	750.000	13%
D	450.000	15%

Se pide:

a.   La probabilidad de que elegida una persona activa al azar, ésta sea de la Ciudad A.

b.   La probabilidad de que elegida al azar una persona activa de esta Ciudad A, dicha persona se encuentre desempleada.

c.   Si se ha elegido una persona activa al azar y resulta no estar desempleada, ¿cuál es la probabilidad de que proceda de la provincia A?

d.   Si se ha elegido una persona activa al azar y resulta que está desempleada, ¿De cuál provincia es más probable que proceda?

11.   Se eligen al azar 3 deportistas de un equipo de 10 integrantes para realizar un control antidopaje; Se sabe que 2 de los jugadores del equipo han tomado sustancias prohibidas. ¿Cuál es la probabilidad de elegir para el análisis a alguno de los infractores?

12.   En una fábrica de tornillos, las máquinas A, B y C producen  20%,   35% y   45% del total, respectivamente. Se sabe que 3% de los tornillos producidos por la A, el 4% de la B y el 5% de la C, son defectuosos. Si de la producción total se elige un tornillo al azar,

a.   ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

b.   Si el tornillo es bueno, ¿Cuál es la probabilidad de que sea de la máquina B?

c.   Si el tornillo es defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina A?

13.   En una población, el 3% de los varones y el 4% de las mujeres son daltónicos. Las mujeres son el 53% de la población. ¿Cuál es la proporción de varones entre los daltónicos?

14.   Estamos interesados en saber cuál de dos análisis A y B es mejor para el diagnóstico de una determinada enfermedad, de la cual sabemos que la presentan un 10% de individuos de la población. El porcentaje de resultados falsos positivos del análisis A es del 17% y el de B es del 19%. El porcentaje de falsos negativos de A es del 5% y de B es del 7%. ¿Cuál es la probabilidad de acertar en el diagnóstico con cada método?

15.   En un bosque hay 100 elefantes: 50 son grises, 30 blancos y 20 marrones. Se eligen al azar 9 elefantes, con reemplazo. Calcular la probabilidad de que resulten: 4 grises, 2 blancos y 3 marrones.

16.   El 60% de los estudiantes aprueba una asignatura A y 40% aprueba otra asignatura B. Sabemos, además, que 25% del total aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar, calcular las probabilidades de las siguientes situaciones:

a.   Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A.

b.   Haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la A.

c.   No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que ha aprobado la A.

d.   No haya aprobado la asignatura B, sabiendo que no ha aprobado la A

17.   Se ha declarado un concurso para otorgar becas a los mejores estudiantes de la UBA y se llaman a participar a cinco hembras y dos varones de Ingeniería, seis hembras y cinco varones de Administración y Contaduría y Ocho hembras y tres varones de Comunicación Social. En virtud de que los meritos de todos los participantes son similares se decide escoger una Escuela de forma aleatoria y elegir un estudiante de ella.

a.   Cuál es la probabilidad que sea elegido un varón

b.   Si luego de elegir la Escuela se seleccionó a una hembra, cuál es la probabilidad de que ella sea de la Escuela de Ingeniería

18.   Suponga que hay tres cajas idénticas A, B y C. La caja A contiene dos monedas de cobre, la caja B una cobre y dos de níquel y la caja C contiene una de plata, dos de níquel y dos de cobre. Se toma al azar una de las cajas y luego se saca una moneda de ésta. Si la moneda es de cobre, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido tomada de?:

a.      La Caja A

b.      La Caja B

c.      La Caja C

19.  Supongamos que {Bi}_i=1 es una partición de un espacio muestral W. Si A es un evento de W, probar que P(A) = P(A/B₁)P(B₁) + P(A/B₂)P(B₂) + . . . + P(A/B_n)P(B_n)

20.  Supongamos que {Bi}_i=1 es una partición de un espacio muestral W. Si A es un evento de W, probar que:

                                                  P(A/B_k)P(B_k)

 P(B_k/A)) =  ---------------------------------------------------------------------------------

                       P(A/B₁)P(B₁) + P(A/B₂)P(B₂) + . . . + P(A/B_n)P(B_n)

21.  Las probabilidades a priori de los eventos A₁ y A₂ son P(A₁) = 0,45 y P(A₂) = 0,55. También se sabe que P(A₁­∩A₂) = 0. Suponga que P(B/A₁) = 0,25 y que P(B/A₂) =0,45. Se pide:

a.    Calcule P(A₁UA₂).

b.    Calcule P(A₁­∩B) y P(A₂­∩B).

c.    Calcule P(B).

d.    Calcule P(A₁/B) y P(A₂/B).

22.   El número de camiones que pasan por una carretera donde hay un surtidor de gasolina está en relación 5 a 3 respecto de otra clase de vehículos. La probabilidad de que pasando un camión éste llegue al surtidor a abastecerse es de 0,15. Respecto a otra clase de vehículos dicha probabilidad es 0,25. Si llega un vehículo a abastecerse, ¿qué probabilidad hay de que sea un camión?

23.   Sobre la población activa de un Estado se tienen los siguientes datos: el 35% son obreros no calificados, el 55% son obreros especialistas y el resto son técnicos medios o superiores. Actualmente, el desempleo afecta a 30% de los no calificados y a 15% de los especialistas, constituyendo los obreros no cualificados el 48% del total de los parados. Determine el porcentaje de paro que existe entre los técnicos.

24.   Una caja contiene tres bolas negras y siete bolas blancas. Se efectúa en siguiente juego. Se extrae una bola, se observa su color y luego se devuelve a la caja con dos bolas adicionales del mismo color. Si se realizan tres extracciones, una a continuación de la otra. Halle la probabilidad de que en cada una de ellas se extraiga una bola negra.

25.   En una investigación de mercado realizada sobre una población se puedo observar que 20% de sus habitantes son zurdos; 30% son adictos al alcohol y 6% es adicta al alcohol. ¿Son independientes los eventos ser zurdo y ser adicto al alcohol?

26.   A los habitantes de Maracay se les hizo una entrevista con el propósito de determinar el número de lectores de El Siglo y El Aragüeño. Los resultados del estudio fueron los siguientes: 20% de los habitantes lee El Siglo, 16% lee El Aragüeño y 5% lee ambos periódicos diariamente. Si se elige al azar un lector.

a.   Cuál es la probabilidad de que sea lector de El Siglo, sabiendo que lee El Aragüeño

b.   Cuál es la probabilidad de que se lector de El Aragüeño sabiendo que lee El Siglo

27.   Se extraen tres bolas sucesivamente de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 bolas blancas y 5 bolas azules. Hallar la probabilidad de que se extraigan en el orden roja, blanca y azul si las bolas

a.         Se remplazan,

b.         No se remplazan.

28.   Demostrar que si P(A ) > P(B) entonces P(A/B) > P(B/A)

29.   Tres joyeros idénticos tienen dos compartimientos. En cada compartimiento del primer joyero hay un reloj de oro. En cada compartimiento del segundo joyero hay un reloj de plata. En el tercer joyero el un compartimiento hay un reloj de oro, en tanto que en el otro hay un reloj de plata Si seleccionamos un joyero aleatoriamente, abrimos uno de los compartimientos y hallamos un reloj de plata, ¿cuál es la probabilidad de que el otro compartimiento tenga un reloj de oro?

30.   Durante los últimos años se ha escrito mucho sobre la posible relación entre el fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro médico, de los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, 90% realmente lo tenía, mientras que únicamente 5% de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0,45, ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar seleccionado al azar, sea fumador?

Realizado por:

Prof. José Pérez Leal